Борис Тенин родился в Кузнецке в семье телеграфиста, но его жизнь прошла в других местах. Отец Бориса был активным забастовщиком, придерживался большевистских взглядов, что привлекало пристальное внимание начальства. Боре не было и года, когда Михаила Герасимовича с семьёй перевели в Тулу. Позже отца Бориса отправили на Кавказ. Его мать была акушеркой и много работала. Свободное время мальчик не тратил зря – его увлёк театр. Тенин был неизменным участником всех школьных праздников и спектаклей, где впервые и проявился его актёрский талант. Так у Бориса родилась мечта о большой сцене.
После Октябрьской революции большевистская власть нуждалась в преданных людях – так отец Тенина оказался в Москве, а вместе с ним и Борис. В столице юноша окончил школу, и в 1920 году, переменив разные студии, поступил в Высшие театральные мастерские (сегодня ГИТИС), которые окончил через два года. Ещё в студенческие годы он выходил на сцену Вольного театра В. Мейерхольда, но взгляды юного артиста и талантливого режиссёра разошлись. Борису хотелось большей самостоятельности.
Отправившись в Ленинград, он играл на сцене мюзик-холла и театра Комедии. В последнем он познакомился с актрисой Лидией Сухаревской, которая стала его женой. С ней Тенин после войны вновь перебрался в Москву. Там Борис Михайлович служил в Театре-студии киноактёра, а затем — в театре Сатиры, театре на Малой Бронной и театре имени В. В. Маяковского. В 1981 году ему было присвоено звание Народного артиста СССР.
Большую популярность принесла Борису Тенину его работа в кино. Ещё в конце 1920-х годов молодой режиссёр С. Юткевич пригласил его на съёмки. Самой известной работой Тенина в довоенное время стал образ солдата Ивана Шадрина в фильме «Человек с ружьём» (1938). В годы войны была снята кинолента «Новые похождения Швейка» (1943), где Тенин сыграл главного героя. В 1970–1982 годах актёр сыграл комиссара Мегрэ в серии телеспектаклей по мотивам детективов Ж. Сименона. Этот образ завоевал сердца многих зрителей.
Актёрский талант Бориса Михайловича отмечен множеством государственных наград:
Сталинская премия первой степени (1948) — за исполнение роли Боба Мёрфи в фильме «Русский вопрос» (1947)
Два ордена Трудового Красного Знамени (1939) — за исполнение роли Ивана Шадрина в фильме «Человек с ружьём» (1985)
Медаль «За оборону Ленинграда» (1946)
Медаль «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.» (1946)
Медаль «В память 800-летия Москвы» (1948)
Медаль «В ознаменование 100-летия со дня рождения Владимира Ильича Ленина» (1970)
Медаль «Тридцать лет Победы в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.» (1975)
Медаль «Сорок лет Победы в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.» (1985)
Медаль «В память 250-летия Ленинграда» (1953)
Медаль «Ветеран труда» (1985)
Борис Михайлович прожил 85 лет и умер в 1990 году. В Кузнецке в доме, где родился актёр (улица Калинина, 159), установлена мемориальная доска.