Андрей Дмитриевич родился в селе Бакеевка Жиздринского уезда Калужской области. В 1896 году его крестьянская семья переехала в деревню Константиновку Спасской волости. Борисов занимался хлебопашеством, в 1914 году его призвали на военную службу в 9-й Сибирский стрелковый полк. В 1915 году Андрея Дмитриевича направили на фронт под Варшаву, где за боевые заслуги он получил звание младшего унтер-офицера и был награждён Георгиевскими крестами III и II степени. В 1917 году Борисов был переведён в 171-й запасной пехотный полк под Петроградом. Там он вместе с рабочими принял участие в революционном движении.
В октябре 1917 года А. Д. Борисов вернулся в Константиновку. В феврале 1918 года он начал формировать дружину Красной гвардии. В течение 1918–1919 годов отряд Борисова перешёл на партизанские методы борьбы, скрываясь от интервентов в лесах и участвуя в операциях против армии А. В. Колчака. В январе 1920 года отряд Андрея Дмитриевича совместно с другими партизанами разоружил батальон противника на территории Спасского цементного завода и взял под контроль Спасский гарнизон. В марте 1920 года Борисов был назначен командиром 1-го Спасского отдельного батальона. Однако 4–5 апреля 1920 года японские войска разбили батальон, Андрей Дмитриевич был вынужден отступить и принять участие в боях на Амурском фронте.
В июне 1921 года Борисова назначили командующим Спасского военного округа и направили в Спасск для организации новых партизанских групп. К июлю 1922 года Спасский партизанский отряд насчитывал уже 54 бойца. 7–9 октября 1922 года, совместно с частями Народно-революционной армии, отряд Борисова освободил Спасск от белогвардейцев.
В 1920-е годы А. Д. Борисов в составе отрядов ОГПУ и бывших партизан принимал участие в ликвидации антисоветских банд. За свои заслуги в 1930 году он был удостоен ордена Красного Знамени. В 1932 году Андрей Дмитриевич был избран председателем Спасского совета рабочих, крестьянских и красноармейских депутатов, до 1949 года занимая руководящие партийные посты.
Скончался 7 июня 1954 года и был похоронен на городском кладбище в селе Спасском Приморского края. В 1962 году одна из центральных улиц Спасска-Дальнего была названа в честь этого выдающегося человека. В 1973 году в центре города был открыт памятный бюст А. Д. Борисову — скульптурный портрет, выполненный из бетона и установленный на массивном постаменте. Автором этого памятника стал известный скульптор К. К. Поперечный.