Александр Николаевич родился в Ртищеве в семье железнодорожников. В 1934 году окончил Ртищевскую школу профессионального обучения и начал работать слесарем-ремонтником в депо. С 1935 году Мещеряков — помощник кочегара на паровозе, с 1937 года — помощник машиниста. В 1939 году начал самостоятельно водить грузовые, а затем и пассажирские поезда.
Во время войны Мещеряков служил машинистом в железнодорожном полку. Дошёл до Восточной Пруссии, затем работал на Дальнем Востоке, где, как он сам вспоминал, «водил паровозы по очень сложному горному маршруту: через тоннель поднимался по спирали на высоту 3000 метров над уровнем моря и на тормозах спускался в долину. Возил грузы, пленных японцев, советских заключённых».
После войны Мещеряков вернулся в Ртищево. Он предложил обслуживать тепловозы экипажем из двух человек вместо трёх. Эта и другие его идеи помогли снизить стоимость перевозок почти на 20%. За свои достижения в 1959 году Александр Николаевич был удостоен звания Героя Социалистического Труда.
В 1961 г. Мещеряков стал почётным железнодорожником. Его выбрали делегатом на съезд КПСС и съезд железнодорожников. В 1993 году 79-летний Мещеряков вёл туристический поезд «Русь» от станции Грязи до Астрахани и Поворино.
В 2001 году Мещерякову присвоили звание почётного гражданина Ртищево. О нём рассказывает экспозиция в городском музее и документальный фильм. На здании депо установлена мемориальная доска в его честь.