Уроженец села Грязи, Григорий Николаевич Минх происходил из семьи потомственных дворян. Его родители переехали в Саратовскую губернию, где он и учился в гимназии, затем поступил на медицинский факультет Московского университета и в 1861 году окончил курс с отличием и был удостоен степени лекаря.
В дальнейшем Григорий Николаевич получил степень доктора медицины, защитив диссертацию в 1870 году. Два года спустя Г. Н. Минх по состоянию здоровья переехал в Одессу, где занял место старшего врача городской больницы (прозектора), занялся наукой, изучал сибирскую язву (придя к выводу о том, что её две формы — кишечная и легочная — имеют одно происхождение). Григорий Николаевич стремился доказать заразность возвратного тифа, для чего 25 апреля 1874 года он, проявив незаурядное мужество, сознательно заразил себя, ранив предплечье стеклянной капиллярной трубкой, где находилась кровь больного, но остался при этом жив.
С 1876 году он уже являлся профессором Киевского университета святого Владимира, был известным лектором, знатоком многих направлений медицины, что позволило ему завоевать уважение студентов. Кроме того, он занимался и общественной деятельностью, являясь активным членом ряда врачебных обществ России того времени. Много в эти годы он сделал для изучения инфекционных заболеваний, совершая за свой счет длительные экспедиции в разные регионы России.
Григорий Николаевич объездил Среднюю Азию и Кавказ, посещал также Иран, Египет и Палестину, доказывая инфекционную природу одной из самых страшных болезней — проказы.
В 1878 году в селе Ветлянка Астраханской губернии разразилась эпидемия чумы. В течение нескольких месяцев Григорий Николаевич изучал причины возникновения эпидемии и активно боролся с этим бедствием. Итогом стала известная книга «Чума в России», вышедшая уже после его смерти. Вскоре после этого из-за болезни Г. Н. Минх вышел в отставку и жил в имении жены Новые Бураси вблизи Саратова, где и скончался.
За труды по принятию предохранительных мер во время эпидемии в Приволжских губерниях Г. Н. Минх был награждён орденами святого Станислава II степени (1870) и святой Анны II степени (1879). На протяжении всей жизни он был видным инфекционистом, эпидемиологом и патологоанатомом, признанным всем научно-медицинским сообществом России второй половины XIX века.