Пётр Александрович Плешаков родился в Камбарке. По окончании двухклассного училища с 1922 по 1925 г. он обучался в Курганском техническом училище имени Губкина. До 1930 г. работал на Серовском металлургическом и Первоуральском заводах, затем преподавал в Камбарской школе ФЗУ. В 1933 г., после создания Камбарского литейно-механического завода, Плешаков был назначен главным инженером этого предприятия.
Во время Великой Отечественной войны он служил лейтенантом-воентехником на 136-м Центральном складе химического имущества в Камбарке. После демобилизации в 1944 г. Плешаков продолжил работу в качестве главного инженера Камбарского машиностроительного завода. Под его руководством предприятие освоило производство железнодорожных снегоочистителей, пассажирских вагонов, мотовозов и строительно-монтажных поездов, а также окончательно профилировалось на выпуске тепловозов.
В 1950-е гг. П. А. Плешакова многократно выбирали депутатом городского совета, а в 1955 г. по его инициативе в городе был открыт машиностроительный техникум.
С юных лет Пётр Александрович был увлечён краеведением, записывал рассказы старожилов о прошлом Камбарки, собирал монеты, открытки, марки, старинные книги. Выйдя в 1962 г. на пенсию, он посвятил себя давним увлечениям (живописи, коллекционированию, фотографии), но главным образом — общественной деятельности. Плешаков выступил одним из создателей и организаторов камбарского народного музея, директором которого, причём на общественных началах, он состоял на протяжении 15 лет — с 1964 по 1979 г.
Наряду с музейной деятельностью читал лекции в школах, на предприятиях и в организациях.
Заметный след Пётр Александрович оставил и в краеведении — опираясь на документы музейной коллекции и другие источники, он подготовил летопись Камбарки, а также цикл лекций по истории камбарского машиностроительного предприятия, который лёг в основу книги «Камбарский завод», изданной в 2004 г.
Пётр Александрович умер и был похоронен в Камбарке.