Участник Великой Отечественной войны, Герой Советского Союза. Родился в Борисоглебске в семье рабочего. В 1935 году окончил техникум механизации сельского хозяйства, работал в механической мастерской. В 1939 году прошел курс пилотов в Борисоглебском аэроклубе, а в декабре 1939 года вступил в ряды Красной Армии. В 1941 году окончил Борисоглебскую военную авиационную школу летчиков.
С 13 ноября 1941 года сержант Е. А. Евсеев находился на фронтах Великой Отечественной войны в составе 629-го истребительного (31 марта 1943 года преобразован в 38-й Гвардейский) авиационного полка. К декабрю 1942 года Е. А. Евсеев — старший летчик 629-го авиационного полка (102-я истребительная авиационная дивизия в составе Сталинградского корпусного района противовоздушной обороны, Юго-Восточный фронт).
Лейтенант Е. А. Евсеев совершил 152 боевых вылета, включая пять разведывательных, в 37 воздушных боях лично сбил восемь самолётов противника и еще один вместе с напарником. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 8 февраля 1943 года за «образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм» лейтенант Е. А. Евсеев удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 35).
По окончании Великой Отечественной войны майор Е. А. Евсеев продолжал службу в Военно-воздушных силах, до увольнения в запас в 1946 году работал в гражданской авиации. Был летчиком-инструктором авиационного отряда Особого конструкторского бюро (ОКБ-1) Государственного комитета Совета Министров СССР по оборонной технике под руководством С. П. Королева (ныне научно-производственное объединение «Энергия»). В этом отряде Е. А. Евсеев служил до ухода на пенсию. Имел квалификацию «линейный пилот 1-го класса».
Награжден двумя орденами Ленина (1942, 1943), медалью «Золотая звезда» (1943), орденом Отечественной войны I степени (1985), орденом «Знак Почета», медалями. Имя Е. А. Евсеева увековечено на стеле Аллеи Героев в Волгограде и на Поклонной горе в Москве. В Борисоглебске Е. А. Евсееву установлены мемориальные доски на территории Борисоглебского авиационного училища на мемориале «Чкаловцы — герои Отечества» (2015), мемориального комплекса Памяти и Славы (2001), на здании Борисоглебского сельскохозяйственного техникума (ул. Советская, 13).