Борис Калинкин родился в селе Дубасово Саратовской губернии. В 1915 году его семья переехала в Ртищево. По окончании школы Борис работал помощником слесаря на мясокомбинате. По направлению комсомола поступил в Балашовскую школу Гражданского воздушного флота, которую окончил в 1932 году и остался там лётчиком-инструктором. До войны был пилотом и руководил подразделениями гражданской авиации в Пятигорске и Грозном.
С декабря 1941 года Калинкин — в рядах Красной Армии на Северо-Кавказском фронте. Совершил более 100 боевых вылетов. С июля 1943 года Борис Тихонович в транспортной авиации. В феврале 1944 г. его экипаж на самолете «Дуглас» С-47 доставил советскую военную миссию из Москвы в Италию. Весной и летом 1944 года Калинкин помогал партизанам Югославии. В июне 1944-го он вывез из окружения руководство югославских партизан, включая маршала Тито. За эти подвиги Калинкин получил звание Героя Советского Союза и стал народным героем Югославии.
На завершающем этапе Великой Отечественной войны капитан Калинкин участвовал в освобождении Польши, в боях за Берлин и Прагу. Погиб в автомобильной аварии в Германии 10 июня 1945 года. Калинкина похоронили на Новодевичьем кладбище в Москве. В Ртищеве его именем названа улица, на школе, где он учился, установлена мемориальная доска. Лётчик навечно включён в списки Пятигорского авиапредприятия.